Règle 1

Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, que je ne la connusse évidemment être telle; c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute. (Descartes, 2011 [1637] : 14)

Cette première règle porte sur la notion d’évidence. Le philosophe recommande de n’admettre pour vrai que ce qui ne souffre d’aucun doute. Il est donc important que les chercheur·se·s se débarrassent de toute idée fausse ou qui ne peut être prouvée.

Règle 2

Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre. (Descartes, 2011 [1637] : 14)

Le deuxième principe concerne l’analyse des phénomènes. Il est recommandé de toujours segmenter les phénomènes en de petites unités afin de les étudier en profondeur, en traitant toutes les étapes.

Règle 3

Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu’à la connaissance des plus composés; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. (Descartes, 2011 [1637] : 14-15)

La troisième règle se rapporte à l’ordre et à la cohérence des analyses : partir des objets simples vers les objets complexes.

Règle 4

Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. (Descartes, 2011 [1637] : 15)

Cette dernière règle concerne des vérifications minutieuses pouvant ouvrir à des règles générales.

Il applique cette méthode de la manière suivante. Il commence par douter de tout, de nos sens, en disant que nos sens peuvent très souvent nous tromper. Par exemple, quand le soleil nous brûle, nous avons l’impression qu’il est juste au-dessus de notre tête alors qu’il est situé à une distance évaluée en centaine de millions de kilomètres de la terre. Il doute ensuite de tout ce qu’il a appris jusque-là, de toutes les démonstrations qu’on lui a proposées comme étant vraies. Il doute aussi de la réalité du monde extérieur; il se peut que les objets que nous voyons ne soient pas réels, de la même manière que les objets dont nous rêvons ne soient pas toujours dans la réalité. Il se peut que dans notre état d’éveil, nous soyons dans un rêve permanent, mais sans être conscients que nous sommes dans un rêve (Descartes, 2011 [1637]).

Le résultat auquel Descartes parvient au terme de son doute, c’est la certitude de sa pensée, sa conscience. Il peut continuer à douter de son corps, mais pas de son âme. Il se rend alors compte d’une première vérité : la réalité de son existence; le fait que lui, Descartes, existe; autrement, ce serait de l’absurdité, une pure folie. D’où l’assertion « Je pense donc je suis. » qui est en effet sa première vérité. C’est par celle-ci qu’il connaît et reconnaît son existence et c’est de cette vérité que vont découler toutes les autres. L’homme se caractérise donc par sa conscience et n’existe que dans la mesure où il est conscient de son existence pensante. L’essence de l’homme, c’est sa conscience.

De la même manière pour les mathématicien·ne·s, c’est après des hypothèses premières, des bases de raisonnement solides (axiomes, postulats, définitions, conventions, etc.) qu’il va construire toute une axiomatique, une suite de raisonnements. En effet, les postulats sont des propositions non (encore) démontrables que l’on décide d’accepter comme nécessairement vraies et dont il a besoin pour construire une démonstration. C’est ainsi que les mathématiques sont des constructions hypothético-déductives dont le caractère systématique et la cohérence interne reposent toujours et nécessairement sur un petit nombre de postulats. Ces outils créent l’univers dans lequel les mathématicien·ne·s veulent travailler. Par exemple, le 5e postulat d’Euclide stipule : « par un point pris en dehors d’une droite, on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite. » À cette époque, ce n’était ni une évidence ni un théorème, car il n’était pas encore démontré. Dans la conception actuelle de la géométrie affine, cet axiome est devenu un théorème.

Les mathématiques sont pour l’esprit un moyen d’accès à la vérité par la démonstration, la rigueur et la cohérence. C’est pourquoi Descartes voudrait expliquer, de par la méditation philosophique, la méthode qui permet à la démarche mathématique d’enchaîner les énoncés clairs et évidents : « Ces longues chaines de raisons, toutes simples et faciles dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations » (Descartes, 2011 [1637] : 15) vont, aux yeux de Descartes, permettre à l’esprit philosophique de réaliser ses plus hautes fonctions dans la recherche de la vérité. La vérité cartésienne réside en ce qu’il voit évidemment, c’est-à-dire très distinctement et très clairement (Descartes, 2011 [1637] : 25). Il s’agit d’une évidence rationnelle, d’une certitude complète d’inspiration mathématique. En raisonnant maintenant chaînon par chaînon, il réhabilite tout ce qu’il a remis en doute. Pour lui, les mathématiques sont un modèle de pensée rigoureuse; elles occupent une place de choix en philosophie, et elles ont donné même naissance à toute une branche de philosophie des sciences, la philosophie des mathématiques (Whitehead & Russell, 1910).

Bachelard : les mathématiques comme construction de l’esprit

Pour Bachelard l’importance des mathématiques réside dans sa capacité inventive. Il semble avoir une attitude réservée à l’égard de l’axiomatique et du formalisme (Loi, 1984). La place des mathématiques dans les travaux du philosophe est tellement prépondérante qu’elles traversent toute son œuvre, comme le relève Martin^[14] :

Il est impossible de lire Bachelard sans être saisi par l’importance attribuée à la connaissance mathématique. Importance est même trop peu dire : c’est d’omniprésence qu’il s’agit. Pour Bachelard, la mathématique est la pensée rationnelle par excellence et toute son œuvre démontre inlassablement que penser le réel, c’est le construire mathématiquement. (Martin, cité par Loi, 1984 : 1)

Les mathématiques intéressent Bachelard surtout dans leurs rapports avec la physique qui relève du réel.

La science physique a trouvé dans les mathématiques un langage qui se détache sans difficulté de sa base expérimentale et qui, pour ainsi dire, pense tout seul. Mais en fait, nous sommes obligés pour comprendre réellement une expérience physique de traduire sous forme d’expérience personnelle les conclusions que les mathématiques nous suggèrent. (Bachelard, cité par Loi 1984 : 2)

Les mathématiques constituent alors dans la conception bachelardienne des outils efficaces au service de la recherche en physique. Toutefois, il précise qu’il est nécessaire d’adjoindre au résultat mathématique l’expérience personnelle des physicien·ne·s. Il s’agit donc non pas de transposer les concepts mathématiques en physique, mais davantage de les adapter au développement de la science. C’est ce qu’il nomme « la rectification des concepts » (Loi, 1984 : 2). Le réel mathématique est une construction expérimentale, conçue en termes mathématiques. Ainsi, le modèle mathématique n’est pas rigide, mais se construit par une reformulation permanente des principes de base. Pour Bachelard, les mathématiques sont un langage indispensable pour les autres sciences avec lequel on peut bâtir ce qu’on veut selon le conventionnalisme mathématique, c’est-à-dire dans le respect strict de certaines règles bien connues et inhérentes à cette discipline. Elles produisent un double effet : au niveau du sujet (avec des potentialités intellectuelles, développement cognitif chez l’individu) et au niveau de l’objet (avec des applications dans la société). Il réconcilie ainsi la science et l’âme des savant·e·s. Cette réconciliation et ce syncrétisme entre les sciences et les humanités traversent pratiquement toute l’œuvre de Bachelard.

L’un des points de divergence entre l’approche bachelardienne et l’approche cartésienne de l’expérience scientifique concerne la démarche. Pour Bachelard, la méthode cartésienne est réductrice, parce qu’elle ne permet pas une extension par un renouvellement permanent de l’expérience pour l’éprouver, pour la « compliquer » (Bachelard, 2008 [1934]). Les théories scientifiques ne devraient donc pas être figées, car la pensée est un mouvement dynamique et le questionnement est permanent. Les connaissances du passé servent de base pour créer de nouvelles. On est donc dans un mouvement continuel, une succession qui ne craint pas les contradictions. C’est ce que pense Bachelard quand il affirme que : « Quand il se présente à la culture scientifique, l’esprit n’est jamais jeune. Il est même très vieux, car il a l’âge de ses préjugés. Accéder à la science, c’est, spirituellement rajeunir, c’est accepter une mutation brusque qui doit contredire un passé. » (Bachelard, 2015 [1934] : 17). Nous projetons chacun, sur le monde qui nous entoure, non seulement des sentiments, mais aussi toutes les dispositions héritées de notre passé culturel ou de nos traditions sociales. L’esprit sans être vide se donne toujours un univers; et puisque les mathématiques traitent du réel comme du possible, de ce qui est comme de ce qui peut être, pourquoi ne traiteraient-elles pas des choses de l’esprit? Les mathématiques réalisent la synthèse entre le sujet et le monde. Elles peuvent donner une représentation réelle à la pensée; la concrétiser à travers un modèle. Pour Soler, un modèle est « un cadre représentatif, idéalisé et ouvert, reconnu approximatif et schématique, mais jugé fécond par rapport à un but donné : prévoir, agir sur la nature, la connaître mieux, etc. » (Soler, cité par Sagaut, 2008-2009 : 38)

En mathématiques, il y a une cohérence entre l’image réelle et le modèle mathématique associé. C’est en libérant l’image de l’intuition, en la posant comme imaginaire au travers d’un modèle mathématique bien élaboré et non plus comme image du réel, que la mathématique dévoile sa véritable place. Pour Bachelard, l’imaginaireest au-dessus de la mathématique au même titre que la dialectique de Platon. En fait, les mathématiques ne chassent pas l’intuition, mais la structurent en l’élaguant de toutes imperfections. Si les mathématiques sont plus riches, c’est simplement parce qu’il n’y a jamais de contradictions internes dans le corps des mathématiques^[15]. Il n’y a pas par exemple de contradiction entre la définition mathématique d’une onde, avec comme paramètres intrinsèques : l’amplitude, la fréquence et la longueur d’onde, et les équations d’échanges d’énergie dans l’effet photoélectrique. En mathématiques, c’est la raison qui crée, à travers leurs définitions, les objets et les outils qu’elle saisit et utilise pour démontrer.

Pour lui, on ne saurait remplacer l’image expérimentale par l’équation. En outre, le raisonnement mathématique va des prémisses aux conséquences. C’est en cela qu’est perceptible sa rigueur. On conclut sur la seule base de la chaîne démonstrative, sans rien admettre de l’extérieur. De ce point de vue et par analogie avec la phénoménologie des philosophes, la mathématique est une phénoménographie^[16]. En permettant aussi de déchiffrer d’autres aspects de la réalité, elle devient ainsi, en plus d’être une science contemporaine, une phénoménotechnique (Ienna, 2019) capable de postuler le possible, l’inconnu ou l’infini (quand il faut conjecturer le comportement asymptotique de la dynamique d’un phénomène dont le modèle mathématique présente une forme itérative, on peut, dans certains cas, utiliser le raisonnement par récurrence). Ainsi, la science de la réalité cesse de se contenter du comment phénoménologique pour rechercher le pourquoi mathématique, la formation de l’esprit. Le raisonnement mathématique n’est donc pas simplement cohérent et rigoureux, il est aussi fécond et par conséquent efficace pour projeter, extrapoler; bref, pour prédire.

Le fait qu’en physique, il soit impossible de décrire un objet à travers l’espace (euclidien) et le concept de matière rend nécessaire de penser cet objet à travers un modèle mathématique qui renferme tous les paramètres caractéristiques intrinsèques de l’objet. En effet, si l’objet était parfaitement discernable (par la forme, la masse, la position, la vitesse, etc.), les mathématiques n’auraient qu’un rôle descriptif, donc resteraient extérieures au phénomène. Or, il n’y a que les mathématiques qui puissent fournir un modèle de compréhension et de caractérisation d’un objet indéterminé ou indéterminable, mais dont l’existence est établie dans un modèle. La mathématisation n’est donc pas seulement une description d’un réel étranger à l’entendement de l’homme, ou encore une recette (ou un décryptage) des lois mathématiques qui seraient inscrites à notre insu dans l’univers, mais elle est une construction. Pour Bachelard, les mathématiques sont techniques et tout à fait utiles au physicien, à l’architecte. L’expression « bâtir les mathématiques » trouve ici tout son sens pratique.

Kant et l’idée de l’« intuition sensible » en mathématiques

Même s’il n’a pas élaboré une philosophie des mathématiques à proprement parler, Kant a produit de nombreuses réflexions à la fois sur les concepts et les méthodes mathématiques. L’une des idées phares qu’il a développées sur la géométrie et l’arithmétique est celle de l’intuition, conçue comme des « images pures » de l’intuition de l’espace et du temps. Kant considère qu’une définition mathématique « est à la fois présentation d’un objet intuitif et d’un concept schématisé dans l’intuition » (Pierobon, 2003 : 93). L’activité mathématique se perçoit alors comme une pensée (intérieure) permettant le repérage d’un objet pensé et une schématisation de cet objet dans la pensée. De ce point de vue, Kant va considérer que la définition mathématique est réelle dans la mesure où elle met en relation un concept pensé et sa « réalité objective » parce que conforme au concept. Cela l’amène à conférer aux principes mathématiques une « certitude intuitive » (Pierobon, 2003 : 93).

L’autre idée qui rapproche la philosophie kantienne des mathématiques est sa conception du réel. En effet, le réel est donné chez Kant comme une intuition. Il suffit, pour s’en convaincre, de lire les définitions qu’il donne des notions telles que le temps et l’espace.

Le temps n’est rien d’objectif ni de réel, il n’est ni une substance, ni un accident, ni une relation, mais une condition subjective nécessaire en vertu de la nature de l’esprit humain […]. L’espace n’est pas quelque chose d’objectif et de réel, ni une substance, ni un accident, ni une relation, mais quelque chose de subjectif et d’idéal, issu de la nature de l’esprit par une loi fixe, à la manière d’un schéma destiné à coordonner absolument tout ce qui est apporté du dehors par les sens. (Kant, cité par Chenet 1994 : 166)

La perception subjective du réel chez Kant semble trouver un grand écho dans le mode de raisonnement des mathématicien·ne·s. Le réel en mathématique pure semble coïncider avec l’« intuition pure » chez Kant. Ce dernier considère que « la mathématique pure et notamment la géométrie pure, ne peut avoir de réalité objective qu’à la seule condition de concerner uniquement les objets des sens. » (2001 [1783] : 50). Pourtant, les objets mathématiques ne coïncident pas toujours avec les objets réels. Pour Kant, le principe de la coïncidence avec la réalité n’est pas valable en vertu du fait que « notre représentation sensible n’est aucunement une représentation des choses en elles-mêmes, mais seulement de la manière dont celles-ci nous apparaissent » (2001 [1783] : 50). Pour comprendre la conception kantienne des mathématiques, il faut d’abord partir de la distinction réalité objective / réalité subjective, puis relier à la seconde la notion d’intuition pure. En prenant le cas du géomètre, Kant situe sa démarche dans une réalité subjective en affirmant que tout se joue à travers son regard subjectif et sa pensée intuitive. Il se distingue ainsi du philosophe qui procède par analyse; lui procédant par construction, sans ressentir la nécessité d’avoir « les choses mêmes devant les yeux » (Kant, cité par Pierobon 2003 : 39).

Que l’on considère les conceptions de Platon, de Descartes, de Bachelard ou de Kant, les mathématiques sont aujourd’hui une discipline incontournable pour toutes les sociétés qui aspirent à une émergence dans les domaines technique, technologique, social, économique ou culturel (Perrin, 2003; Villani, 2010; Ziegler, 2012). Il est donc un préalable, aussi bien et surtout pour les enseignant·e·s que pour les apprenant·e·s, sans lequel, la compréhension, l’appropriation et l’enseignement des outils mathématiques à des fins utiles semblent périlleux : la connaissance profonde de l’organisation de cette discipline.

Analyse structurale de la discipline mathématique

De manière générale, les sciences mathématiques dans leur structure se caractérisent par un vocabulaire essentiellement mathématique, un ensemble dynamique d’objectifs et une démarche de raisonnement qui obéit à certains principes.

Un vocabulaire propre aux mathématiques

En nous appuyant sur les observations de Lavoisier en chimie et que nous pouvons étendre aux mathématiques, l’on peut distinguer pour toute science, des éléments de trois ordres qui semblent inséparables : « la série des faits qui constituent la science; les idées qui les rappellent; les mots qui les expriment. » (Lavoisier, 1789 : 170). En effet, l’un des aspects caractéristiques des discours mathématiques est sans doute la langue utilisée par les mathématicien·ne·s pour faire les mathématiques, la métalangue ou le métalangage mathématique, c’est-à-dire un système permettant de représenter la relation entre l’objet à décrire et son expression : « Les termes de ce système (symboles, catégories, opérations, etc.) sont aussi peu nombreux que possible, explicitement définis, généralisables et robustes. Ils permettent de rendre compte des phénomènes et d’effectuer des calculs dépassant la simple intuition mathématique. » (J. Chuquet, Gilbert & H. Chuquet, 2019)^[17]. Ce vocabulaire comprend entre autres des objets, des outils, des symboles, des codes et des notions que nous pouvons ranger en trois différents types suivant la catégorisation proposée par Chevellard (1998) : savoirs prémathématiques, savoirs mathématiques et savoirs paramathématiques. Dans le premier cas, il s’agit d’apprentissage à la pratique mathématique pour les jeunes enfants (initiation mathématique, situations mathématisables, éveil mathématique, situations d’ordre mathématique, éducation mathématique)^[18]. Dans le deuxième cas, ces savoirs renvoient aux opérations élémentaires telles que l’addition, la multiplication, la factorisation, la dérivation et autres objets géométriques (cercle, triangle, etc.) qui sont des programmes d’enseignement. Le dernier cas correspond aux processus de résolution des problèmes comme la démonstration, les paramètres, les équations, la modélisation, bref des notions-outils qui ne font pas toujours l’objet d’un enseignement systématique. En général, les objets de la connaissance mathématique restent abstraits. Certain·e·s auteur·e·s comme Davis, Hersh et Marchisotto les qualifient d’« objets mentaux » :

Dans le domaine des idées, des objets mentaux, ces idées dont les propriétés sont reproductibles sont appelées objets mathématiques, et l’étude des objets mentaux avec des propriétés reproductibles est appelée mathématiques^[19]. (2003 : 441)

Ainsi, les mathématiques ont pour objet d’étude des « objets mentaux » ayant « des propriétés reproductibles », c’est-à-dire que l’on peut, sous les mêmes conditions ou hypothèses, multiplier les expériences pour aboutir à un résultat généralisable. Ce principe fondateur de la démarche en mathématiques est d’ailleurs proche du concept de « réfutabilité » ou « falsifiabilité » de Popper (2002 [1959]), appliqué aux sciences expérimentales. Autrement dit, quand on fait les mathématiques, on n’étudie ou ne manipule que des idées, des choses de l’esprit qui peuvent être maîtrisées comme si elles étaient des choses réelles, mises en évidence à travers des esquisses, des illustrations ou autres représentations.

La langue mathématique est ainsi faite d’êtres ou d’entités abstraites et de nature variée. On peut citer entre autres :

– les conventions d’abstraction, les désignations de formes géométriques;

– les constantes : 0, 1, +∞, i, e;

– les variables : x, y, z;

– les symboles : l’égalité (=), l’addition (+), la multiplication (x), l’appartenance (∈), l’universel (∀), l’existentiel (∃), le « et » logique (∧);

– les figures géométriques : le triangle, le carré, la ligne;

– les ensembles : les entiers naturels (), les entiers relatifs (), les nombres rationnels (), les nombres réels (), les nombres complexes ();

– les conventions (a^0=1)∧(a≠0), l’équation de Leonhard Euler^[20] (e^iπ + 1 = 0);

– la tautologie (∀x ∈ C ) [(1 +e^-iπ) × x = 0] ∧ (i² = -1).

Ces entités mathématiques semblent n’avoir aucune réalité objective en raison du fait qu’elles ne sont pas directement perceptibles dans la nature. Seulement, elles procèdent d’une opération d’abstraction par l’usage des symboles traduisant une intention de généralisation, car ces signes peuvent renvoyer à des signifiés et à des référents différents selon les contextes. Ces caractères universalisés, par le biais de l’abstraction, la convention et la généralisation, font ainsi des mathématiques une science ouverte au monde. Dans le même ordre d’idée, il faut souligner avec Guisti que dans leur subtilité « les mathématiques ne sont pas filles de la nature, mais de l’art. » (1999 : 26). En d’autres termes, les objets mathématiques ne sont pas des données naturelles et physiques perceptibles à l’immédiat, mais plutôt une construction, une élaboration méticuleuse et rigoureuse de l’esprit qui s’apparente à une œuvre artistique; ce qui permet d’appréhender le métier de mathématicien·ne à celui d’un artisan qui conçoit, affine et polit ses objets pour leur donner la forme la plus cohérente. D’Alembert n’expliquait-il pas déjà au XVIe siècle la poéticité du discours mathématique en ces termes?

L’imagination dans un géomètre qui crée n’agit pas moins que dans un poète qui invente. Il est vrai qu’ils opèrent différemment sur leur objet; le premier le dépouille et l’analyse, le second le compose et l’embellit. Il est encore vrai que cette manière différente d’opérer n’appartient qu’à différentes sortes d’esprits; et c’est pour cela que les talents du grand géomètre et du grand poète ne se trouveront peut-être jamais ensemble. Mais soient qu’ils s’excluent ou ne s’excluent l’un l’autre, ils ne sont nullement en droit de se mépriser réciproquement. De tous les grands hommes de l’antiquité, Archimède est peut-être celui qui mérite d’être placé à côté d’Homère. (2011 [1751] : 33)

La proximité entre poésie et mathématiques semble donc établie, même si les points de divergence se remarquent au niveau de la démarche : composition et esthétisation pour les poètes d’une part, abstraction et analyse pour les mathématicien·ne·s d’autre part. Il nous semble que la démarche mathématicienne tient à la nature même de leurs objets d’étude.

Les objets mathématiques proviennent, non de l’abstraction des objets réels, dont ils décriraient les traits caractéristiques, mais d’un processus d’objectalisation des procédés. Ils ne dérivent pas d’une réalité extérieure, indépendante [sic] de l’homme, dont ils représenteraient l’essence dépouillée des impuretés matérielles, mais ils formalisent l’action humaine (Guisti, 1999 : 25-26).

Si cette conception des entités mathématiques reflète la démarche habituelle des mathématicien·ne·s, trois points nous semblent poser des difficultés d’ordre épistémologique. D’abord, l’idée de la coupure d’avec « la réalité extérieure » qui serait « indépendante de l’homme » ne constitue qu’une posture parmi d’autres. Il existe bel et bien des approches mathématiques qui s’efforcent de ramener leurs objets d’étude aux objets réels. D’ailleurs, ces approches ont fait la preuve de leur efficacité dans des situations d’apprentissage à différents niveaux. L’idée n’est pas de dire que les mathématiques ne sont pas de l’abstraction, mais plutôt de dire que c’est aussi de la réalité. De même, le fait de concevoir l’activité mathématique comme détachée des humains laisse penser que les objets mathématiques, ainsi que leurs propriétés seraient des objets désincarnés; or, ce sont des constructions humaines, témoignage de l’intelligence des hommes et des femmes qui peuplent le monde. Enfin, Guisti affirme que ces objets constituent une représentation de l’« essence » des réalités que les mathématicien·ne·s dépouillent de ses « impuretés matérielles ». Cette vision correspond certainement à la logique classique, mais elle tombe en désuétude dès qu’on la rapproche des logiques modernes (théorie des ensembles flous, grammaire des catégories, théorie topologique de la déformation, etc.). Ces théories ne tentent pas de se débarrasser des « imperfections » du langage, mais elles les intègrent parmi leurs paramètres.

Pour Guisti (1999), le processus de génération ou la naissance de nouveaux objets mathématiques obéit à trois étapes essentielles, pour qu’on arrive à leur matérialisation.

Phase 1 

Les objets mathématiques comme instruments de recherche : des méthodes démonstratives favorisant l’émergence de nouvelles théories et de nouvelles découvertes donnent lieu à ce type d’objets. Par exemple, la construction des ensembles usuels tels que l’ensemble des entiers relatifs (noté ), l’ensemble des nombres rationnels (), l’ensemble des nombres réels (), etc., dérive des travaux sur l’ensemble des entiers naturels ().

Phase 2

Les objets mathématiques comme solutions de problèmes : ces objets sont étudiés pour eux-mêmes sans rapports immédiats avec le contexte, mais dans le but d’une utilisation circonstancielle. C’est ainsi que le protocole de résolution des équations du second degré dans (), permet de résoudre des problèmes isomorphes dont la modélisation obéit à ce type d’équation.

Phase 3

Les objets mathématiques comme objets d’étude : il s’agit des procédés opératoires ou itinéraires techniques qui deviennent à leur tour des objets d’étude. En guise d’illustration, on peut citer les études portant sur la méthode du pivot de Gauss, par exemple.

Cette hétérogénéité des objets mathématiques soulève d’ailleurs la question de l’unité en mathématiques. Elle repose avant tout sur la nature des objets considérés. Les objets étudiés en mathématiques ne sont pas donnés dans l’expérience sensible. Il s’agit d’objets intelligibles et abstraits. En géométrie par exemple, le théorème de Pythagore ne porte pas seulement sur le triangle dessiné au tableau, mais sur une figure abstraite que l’on saisit par la pensée. De même qu’en arithmétique, ce ne sont pas des kilos de sel ou de riz que l’on additionne, mais des nombres abstraits qui renverraient à ces réalités. Selon Platon (Mansion, 1969), les objets mathématiques sont des êtres intelligibles séparés du sensible. Quant à Aristote (Van Riet, 1952), les objets mathématiques sont tirés des choses concrètes simplement par abstraction.

Donnons deux exemples concrets et simples pour illustrer la conception aristotélicienne.

Exemple 1 : L’énoncé du problème « Que donnent trois oranges augmentées de deux autres oranges? » peut être représenté naturellement de la manière suivante :

(a1)

Dans un premier temps, à l’aide des symboles + et =, cette représentation peut être traduite comme suit :

(b1)

De plus, si nous désignons une orange par le symbole ou la variable x, l’activité se traduit alors, mathématiquement parlant, par l’addition vectorielle suivante :

(c1)   

(3, x) + (2, x) = (5, x)

Une autre modélisation plus simplifiée étant : 3x + 2x = 5x.

Il faut remarquer que les objets manipulés peuvent être substitués à d’autres (des enfants, des oiseaux, des pièces de pagne, des parfums, des cahiers, etc.) pourvu qu’ils soient de même nature et puissent par conséquent être confondus finalement. Et le résultat est donc de cinq oranges évidemment, et nous pouvons le vérifier en comptant simplement l’ensemble des fruits de même nature (oranges) obtenus à l’issue de l’augmentation. Nous constatons clairement que cette modélisation mathématique du phénomène réel en question (l’addition des oranges) épouse exactement la réalité.

Cette formulation littérale peut être traduite de façon formelle comme suit :

3x + 2x = (3 + 2) x = (5) x= 5x.

On peut alors généraliser en considérant la suite d’instructions suivantes qui permet de réaliser pareille opération (addition) pour diverses quantités d’objets (fruits) de nature identique (orange).

   

Cet algorithmique prend la forme d’un modèle mathématique qui permet de réaliser l’addition de deux quantités, mesures ou grandeurs physiques, ici représentées par les petits carreaux , exprimées dans le même système d’unité, c’est-à-dire avec le même étalon . On commence par disposer les deux objets à additionner . Puis on additionne seulement les valeurs en les délimitant par l’utilisation des parenthèses et en conservant l’étalon , . La somme obtenue a en principe une valeur plus grande que celle des deux arguments, raison pour laquelle le carreau est plus allongé . La résultante étant une quantité de même nature que les arguments, soit valeur et unité, on l’exprime alors comme telle, c’est-à-dire sans les parenthèses .

Ainsi, l’activité « 520 cahiers augmentés de 731 autres cahiers donnent combien de cahiers au total? » devient difficile quand nous savons qu’il n’est pas aisé de comptabiliser autant de cahiers un à un. On se réfère alors au modèle mathématique généralisé précédent pour résoudre le problème. En effet, en désignant le cahier par la variable « x » par exemple, l’activité se traduit mathématiquement par :

520 x + 731 x = (520+731) x = (1251) x = 1251 x

Soit un total de 1251 cahiers.

Exemple 2 : La représentation naturelle de l’activité : « Que donnent trois oranges augmentées de deux bananes? » est la suivante :

(a2)

Dans un premier temps, à l’aide des symboles +  et = , l’opération peut être traduite comme suit :

(b2)

De plus, en gardant x pour désigner l’orange, si nous désignons la banane par la variable y, qui est bien différente de x (sinon une banane serait égale à une orange –  « une banane est une orange » est absurde), la traduction mathématique de cette deuxième activité peut s’opérer également par une somme vectorielle à travers l’équation bilan suivante :

(c2) 

(3, x) + (2, y) = (5, x+y)

Et l’interprétation du résultat obtenu (le membre de droite de l’équation) signifierait simplement « 5 bananes-oranges », dont le détail est donné dans le membre de gauche de l’équation. Comme dans l’exemple précédent, le profane ou l’apprenant·e non averti serait alors tenté de traduire cette équation bilan par l’égalité suivante : 3x + 2y = 5(x+y). Mais attention ! Lorsqu’elle est traduite de la sorte, on aboutit à une absurdité.

En effet, on aurait 3x + 2y = 5(x+y)

                                              = 5x + 5y.

Ce résultat est absurde, car l’équation aux dimensions^[21], autrement dit, les quantités par nature de fruit ne sont pas respectées quand on passe d’un membre de l’équation à l’autre. En partant du membre gauche vers le membre droit de l’équation, les quantités augmentent; et dans le sens inverse, elles diminuent.

Il faut alors remarquer que le résultat n’est vraiment pas directement déterminable. Cette somme ne peut ni être égale à 5(x+y) ni 5x + 5y, ni 5x, ni 5y, car sinon x serait identique à y; ce qui est de toute évidence faux. Une seule réponse, qui reste purement d’ordre mathématique, est possible : (5, x+y), soit 5 bananes et oranges ou encore 5 fruits dont des bananes et des oranges. N’allez surtout pas écrire 5xy, car cette expression traduit une activité tout à fait différente de celle qui vient d’être énoncée.

Ces deux exemples nous permettent de montrer comment s’effectuent, s’organisent et se formulent les objets mathématiques. L’idée est avant tout de prouver que la relation des objets mathématiques au réel est possible et démontrable. Notre conviction est que cette conception qui s’efforce de réconcilier le concret et l’abstrait est certainement un moyen efficace de démystification, de familiarisation et d’émulation pour l’apprentissage et l’usage enrichissants des mathématiques à travers la manipulation de leurs outils.

Aussi, pouvons-nous distinguer, en nous inspirant de Chevellard (1998), trois niveaux de représentation en mathématiques^[22]. Le premier est le niveau prémathématique. Il renvoie aux opérations mentales que tout être humain est en mesure d’effectuer dans sa sphère cognitive. Les exemples présentés en (a1) et (a2) en donnent deux cas pratiques avec l’association respectivement des objets de même nature (oranges) et de natures différentes (orange et banane), l’opération d’addition effectuée pour le premier cas (3 oranges et 2 oranges) et l’obtention d’un résultat (5 oranges). À cette étape, on ne recourt ni aux symboles mathématiques, ni aux symboles de formalisation. Il s’agit donc de l’intelligence naturelle des humains, leur habileté, leur capacité, leur faculté de réaliser des opérations de diverses sortes.

Le deuxième niveau est le niveau mathématique. C’est le début de la formalisation avec des opérations dotées d’une complexité réduite. Cette étape correspond aux cas (b1) et (b2) des exemples 1 et 2 plus haut. La formulation de l’opération d’addition telle que présentée ne pose pas une grande difficulté à l’esprit humain. Pourtant, on a l’intuition qu’on représente une opération abstraite.

Le troisième niveau est le niveau paramathématique. Celui-ci se rapporte aux opérations de formalisation de type complexe à travers des règles de réécriture, des procédures de résolution et des méthodes entre autres. Des exemples en sont donnés en (c1) et (c2), ainsi que la suite du développement.

Il nous semble que ce niveau est celui qui pose le plus de difficultés aux apprenant·e·s. La solution consisterait alors à amenuiser l’écart entre le niveau 1 et le niveau 3 de sorte qu’on ramène les expressions abstraites et l’énoncé formalisé à des objets concrets. En postulant que ce qui se fait au niveau 3 est d’une certaine manière à l’image de ce qui se fait au niveau 1 puis au niveau 2, on opte pour un dévoilement des « mystères » des mathématiques, pour une mathématique du réel vers le symbolique, du concret vers l’abstrait, du tangible vers l’immatériel. Précisons que même si les niveaux sont en corrélation, ils ne sont pas pour autant interdépendants. Cependant, notre choix d’un apprentissage et d’une utilisation des mathématiques pour le développement et l’épanouissement humain est en concordance avec un cinétisme, à la manière d’un mouvement de va-et-vient, entre les trois niveaux. Dans un tel contexte, le recours à l’expérimentation s’impose, car il faut bien que les apprenant·e·s se fassent une idée claire et surtout concrète de la notion qu’on souhaite leur enseigner. Il n’est pas question de proposer des mathématiques pour le contexte africain, mais d’inviter les enseignant·e·s de mathématiques en Afrique à plus d’expérimentation dans leur pédagogie.

Un ensemble dynamique d’objectifs

La recherche en mathématiques s’organise autour de deux grandes orientations : un ensemble d’études orientées vers des questions endogènes à la discipline (branche fondamentale) et un ensemble d’études orienté vers la résolution des problèmes humains (branche appliquée). Dans l’une comme dans l’autre tendance, un ensemble d’objectifs sont définis. Ceux-ci varient en fonction des circonstances, des contextes et des types de problèmes à résoudre. C’est en cela que les objectifs de la recherche en mathématiques sont conçus comme des objectifs dynamiques. En guise d’exemple, on peut citer les développements récents en probabilité avec la généralisation de certains théorèmes limites à des structures non vectorielles comme les groupes, la construction des modèles mathématiques plus élaborés pour étudier la dynamique spatio-temporelle de certaines maladies comme le paludisme.

Divers facteurs, tant sociaux que scientifiques, ont poussé les mathématiques à se développer en s’ouvrant davantage sur le monde humain et non humain. Cette ouverture se dévoile nettement et concrètement dans ses interactions avec les autres disciplines (Flato, 1990) : l’économie, la sociologie, la linguistique, la géographie, la biologie, la physique, la chimie, etc. L’attrait exercé par les mathématiques sur les tenants de ces disciplines se justifie principalement par la rigueur et la cohérence du raisonnement mathématique.

Une démarche de raisonnement démonstrative

La démarche adoptée par les mathématicien·ne·s est caractérisée par une logique de nature cartésienne : prudente, méthodique et systématique. Autrement dit, une démarche scientifique qui observe, mesure, interroge pour arriver à comprendre et à prouver. On en distingue différents types. La démarche inductive^[23] (raisonnement inductif fini ou transfini) dont le raisonnement vise à produire des connaissances par des conclusions plus générales que les prémisses. Par exemple, le raisonnement par récurrence, avec ses trois étapes que sont l’initialisation, l’hérédité et la validation à l’infini^[24]. La démarche déductive^[25] regroupe le raisonnement par implication ou preuve directe, par l’absurde et par contraposée. La démarche hypothético-déductive (avec comme exemple le raisonnement par l’absurde) intègre les deux démarches précédentes. Ici, le raisonnement part des propositions ou des principes, notamment les définitions, les axiomes et les postulats à partir desquels les autres propositions sont déduites. Chercher à démontrer ces hypothèses revient simplement à remettre en question tout le système. La démarche récursive ou itérative vise à établir des connaissances déterministes qui sont reproductives dans le temps ou dans l’espace suivant une dynamique traduite par un modèle mathématique et la démarche par contre-exemple consiste à exhiber une connaissance particulière qui vient détruire une conjecture.

C’est inéluctablement pour leurs qualités propres que les démarches mathématiques sont reconnues : leur logique, leur rigueur, leur rationalité, leur esprit d’analyse et de synthèse, l’universalité de leurs résultats, leur caractère généralisable. Elles permettent par ailleurs de mieux structurer l’espace et le temps (Flato, 1990). La force de cette discipline réside donc dans les règles fondamentales qu’elle s’est données comme base de travail.