On distingue en général trois types de logiques mathématiques : la logique formelle, classique ou inductive, la logique matérielle, symbolique ou déductive et la logique dialectique.

La logique formelle, classique ou inductive

Elle se résume dans le schéma d’Aristote (Pellegrin, 2014) qui a analysé le syllogisme, établissant la nécessité d’une conclusion à partir de deux prémisses liées par un élément moyen qui n’apparait pas dans cette conclusion :

Tout homme est mortel; (majeure)
Or Socrate est un homme; (mineure)
Donc Socrate est mortel. (conclusion)

En situation de classe, l’enseignant·e peut, pendant le cours de généralités sur les fonctions logarithmes et dans le but d’attirer l’attention des apprenant·e·s sur la singularité de l’ensemble de définition d’une fonction, de leur rappeler ce qui suit :

Toute fonction numérique a un ensemble de définition;
Or le logarithme népérien est une fonction numérique;
Donc le logarithme népérien a un ensemble de définition.

La logique matérielle, symbolique ou déductive

La logique symbolique ou logistique désigne le raisonnement qui utilise, comme les mathématiques, des symboles et non pas des mots. Elle tente de transformer les opérations logiques en autant de calculs. Ici, la vérité porte non plus sur la forme, mais sur le contenu des propositions^[2]. Une illustration serait :

Toutes les disciplines enseignées (A) à l’école sont importantes (B);
Or les mathématiques (X) sont une discipline enseignée (A) à l’école;
Donc les mathématiques (X) sont importantes (B).

En passant au symbolisme, on obtient :

Tout A est B;
Or X est un A;
Donc X est B.

Ici en général, les relations entre les propositions sont celles d’égalité, d’inclusion, d’exclusion, d’implication, de conjonction, de disjonction, d’équivalence, etc. Ces relations sont bien présentes et couramment utilisées dans le vocabulaire mathématique.

La logique dialectique ou logique de questionnement

La logique dialectique signifie le mouvement de la pensée qui évolue par contradiction. Cette pensée va de la thèse à la synthèse en passant par l’antithèse. Les hégélien·ne·s et marxistes, partisans de la logique dialectique, rejettent le principe de non-contradiction, propre à la logique formelle. Ce dernier est au contraire le moteur d’une pensée féconde et du progrès scientifique. Hegel affirme d’ailleurs que « le mouvement dialectique [est] cette marche <Gang> s’engendrant elle-même, se conduisant elle-même plus en avant et revenant en elle-même. » (Hegel cité par Grandjean, 2009 : 37). L’objectif de la logique dialectique est d’adapter la pensée à la réalité. Elle est bien plus vivante dans un contexte coopératif et interrogatif.

Du point de vue classique, alors que la pensée logique est un outil intellectuel qui guide la recherche de la vérité et qui affranchit l’esprit des erreurs, la logique dialectique quant à elle se nourrit de la réalité. Elle est au service du progrès de la science. Pour nous, elle est une logique de questionnement. Les contradictions qu’elle soulève amènent la science à se développer, innover, progresser et se surpasser.

Principes mathématiques de la raison

La connaissance des quatre principes fondamentaux que sont : le principe d’identité, de non-contradiction, du tiers exclu et de la raison suffisante, issus de la logique formelle d’Aristote, est la condition nécessaire à l’exercice et la structuration de la pensée scientifique (Malanda Dem, 1977; Sagaut, 2008–2009). D’ailleurs, toute la science repose d’abord sur ces quatre principes avant d’éventuelles ouvertures à d’autres principes comme celui de la causalité, du déterminisme des lois, de la séparabilité des phénomènes et celui de la complétude, qui animent la recherche des modèles ou des lois dans presque tous les secteurs de la science macrophysique (Anta Diop, 2011 : 165).

Le principe d’identité

C’est le principe selon lequel une chose n’est égale ou identique qu’à elle-même. La logique classique le formule ainsi : X = X. La lettre ou variable X symbolise tout objet de pensée, proposition ou concept. Le principe d’identité n’est que l’expression codifiée du besoin de cohérence logique qui est l’exigence essentielle de la raison. Par exemple, lorsque le géomètre a défini l’hexagone comme une figure géométrique régulière ayant six côtés égaux, il va de soi qu’il garde toujours ce sens dans la suite de la démonstration. L’exigence d’identité s’oppose à toute équivoque et de ce fait elle renforce l’unicité.

Le principe de non-contradiction

Il n’est que la forme négative du principe de l’identité. Aristote l’énonçait ainsi : « il est impossible qu’une même chose soit et ne soit pas simultanément » (Aristote, cité par D’Aquin, 2012 : 224). Donc, si une chose n’est identique qu’à elle-même, elle ne peut pas être égale à une autre parce qu’il y aurait contradiction. La logique classique l’exprime ainsi :  X est différent de non-X. Par exemple, une lampe ne peut pas être à la fois allumée et éteinte, et réciproquement.

Le principe du tiers exclu

Il pose une alternative : étant supposé que X et non-X sont contradictoires, un sujet est nécessairement soit X, soit non-X. Et il n’y a pas de troisième solution possible. Par exemple, un nombre réel non nul est nécessairement soit positif, soit négatif. Le principe du tiers exclu contraint à affirmer l’un et pas l’autre.

Le principe de la raison suffisante

Il postule que tout phénomène qui se passe dans la nature a sa raison d’être, c’est-à-dire les conditions qui expliquent cet évènement. La raison humaine est caractérisée par l’impérieuse exigence d’intelligibilité. Ce principe si fondamental en macrophysique par exemple est encore appelé principe de causalité. Il signifie que tout phénomène surgit d’une cause; autrement dit, tout fait a une cause et dans les mêmes conditions, la même cause est toujours suivie du même effet. Par contre, à l’échelle microphysique, le fait que l’interaction objet-instrument soit acausale, c’est-à-dire sans lien de cause à effet, vient nier ce principe. Toutefois, l’explication scientifique finale consiste toujours à découvrir, sous tout changement spatio-temporel, une loi ou une identité fondamentale.

Principaux types de raisonnements mathématiques

En général, on distingue entre autres la déduction, l’induction, l’analogie et le raisonnement hypothético-déductif. Toutefois, chez l’enfant de moins de 9 ans, il convient de noter que de nombreuses « erreurs de raisonnement » aux yeux de l’adulte ne sont en effet que la simple traduction des structures mentales^[3] de l’enfant qui, pendant de longues années, diffèrent considérablement de celles des adultes.

Le raisonnement par déduction

La déduction est un type de raisonnement permettant d’aboutir à une conclusion partant d’une ou de plusieurs propositions dites prémisses (CNRTL, 2019). Autrement dit, la déduction est un raisonnement allant des principes à la conséquence entendue comme une conclusion déterminée par ces principes. Dans la conclusion analytique, la conséquence est implicitement contenue dans les principes. Le raisonnement est alors purement formel, car la conclusion n’ajoute rien aux prémisses. La forme la plus importante de la déduction analytique est le syllogisme. La réalité ici est que la conclusion dit toujours exactement la même vérité que les prémisses (Beall, 2019). On peut alors reconnaitre que la déduction est une démarche qui va du général (prémisses, axiomes) au cas particulier (conséquence, théorème).

Un autre exemple de syllogisme comme raisonnement déductif peut être formulé comme suit :

Tous les humains peuvent comprendre les mathématiques;
Or Je suis un humain;
Donc Je peux comprendre les mathématiques.

On remarque que la déduction est a priori indépendante de l’expérience.

Le raisonnement par induction

Le raisonnement par induction suit une démarche qui va du particulier au général, c’est-à-dire de l’observation des faits à la loi qui établit alors les rapports nécessaires et constants entre les phénomènes. Par exemple, ayant remarqué plusieurs fois que le corps se dilate sous l’action de la chaleur, on peut conclure que la chaleur dilate les corps. L’induction est dite amplifiante, car elle affirme une vérité au-delà de ce qui est vu. Elle n’est pas un raisonnement rigoureux comme la déduction. Le rapport qu’elle établit entre les faits observés peut être une simple coïncidence et non une loi universelle. L’induction est toujours a posteriori et essentiellement fondée sur l’expérience.

Le raisonnement par analogie

Le terme « analogie » vient du latin analogia, emprunté au grec (CNRTL, 2019), qui signifie « proportion, rapport, conformité ». Il s’agit d’une forme de raisonnement qui permet d’étendre notre connaissance. L’analogie est, de ce point de vue, plus féconde que la simple ressemblance visant à étendre la connaissance par la généralisation de tout ce qui est directement comparable. Elle sert à lier entre elles les choses appartenant à des domaines de connaissances assez différents. Par exemple, « le livre que je suis en train de lire me paraît bien agréable. J’achèterai sans doute un second livre de cet auteur ». Pour le démontrer par analogie, on raisonne ainsi qu’il suit : « le livre que je suis en train de lire me paraît bien agréable. J’estime que son auteur écrit bien. J’achèterai donc un second livre, car celui-ci m’a plu. » Je fonde ma décision sur la satisfaction que m’a procurée la lecture du premier livre. Le second livre, bien qu’a priori étant différent du premier, a quelque chose de commun avec celui-ci : ils ont le même auteur. Je suis bien conscient que les deux livres ne sont pas pareils (donc pas d’identité), mais je les rapproche tout de même du fait qu’ils sont écrits par le même auteur (donc il y a un rapport entre les deux objets).

Si ce raisonnement par analogie est vrai dans certains cas, il peut parfois conduire aux erreurs. Par conséquent, il n’est pas autant rigoureux pour analyser tous les types d’objets mathématiques que le raisonnement déductif. Toutefois, ce type de raisonnement a fait ses preuves dans de nombreuses autres disciplines : il a servi notamment à l’explicitation des constructions métaphoriques et figuratives qui représentent une proportion non négligeable de l’activité langagière chez les humains^[4].

Le raisonnement hypothético-déductif

Le raisonnement hypothético-déductif est une méthode qui va de l’hypothèse à la conclusion, en faisant appel à des règles d’inférence et de déduction. Et puisque ce type de démonstration mathématique repose sur des hypothèses, on admet ces hypothèses; raison pour laquelle on parle également de système hypothético-déductif. Par exemple, si A = B et B = C alors A = C. Il faut noter que les certitudes mathématiques qui sont fondées sur les définitions, les axiomes et autres postulats reposent toujours sur ce qui n’est pas démontré, c’est-à-dire des conventions. Et chercher à démontrer ces hypothèses revient parfois à remettre en question tout le système.

Presque tous ces types de raisonnements reposent sur les principes de la logique mathématique. La logique formelle est un modèle de rigueur du fait des règles qu’elle se fixe. Toutefois, elle fige l’esprit dans la mesure où elle ne confronte pas ses propositions à l’expérience pour les vérifier. Ce type de logique peut ainsi entrer en contradiction avec un pan de l’esprit, voire limiter sa liberté de réflexion et d’exploration de l’expérience. Comme nous l’avons évoqué plus haut, toute une partie de l’activité cognitive humaine, en rapport avec l’imagination, la virtualité, reste inaccessible à la logique formelle. Sa rigidité s’oppose à la flexibilité, à la labilité et à la complexité des activités cognitives humaines : les humains ne raisonnent pas toujours, quelles que soient les circonstances, en ce qui concerne le vrai ou le faux.

Par contre, la logique dialectique s’applique mieux à l’expérience. Les hypothèses et les théories scientifiques sont évaluées et réévaluées, soumises à la contradiction et mises à l’épreuve des expérimentations. Elle est au service du progrès en science comme un arbitre, car les contradictions qu’elle soulève amènent la science à toujours innover et à s’inscrire sans cesse dans une dynamique de progrès. Au bout du compte, « le facteur dialectique constitue donc l’âme motrice du progrès scientifique et c’est le principe par lequel seules pénètrent dans le contenu de la science, une liaison et une nécessité immanente^[5] » (Hegel, 1987 : 75). Les termes « liaison » et « immanente » renvoient à des notions clés qui vont déterminer certaines conceptions épistémologiques de l’évolution scientifique. La liaison nous renverrait alors à des conceptions de changements en science comme cela apparait chez Khun (1972) qui formule la révolution des idées scientifiques comme le résultat d’une dynamique discontinue; ou encore à la notion de rupture épistémologique chez Bachelard (2015 [1934]). Quant à l’immanence, elle a servi de principe de référence pour l’ensemble de disciplines dites structuralistes qui ont émergé au cours au milieu du XXe siècle.

Au-delà des qualités qu’on reconnait aux raisonnements logiques, une question d’ordre épistémologique s’impose à nous : peut-on faire de la démonstration mathématique la voie d’accès par excellence d’une vérité indiscutable? Diverses réponses, toutes aussi attaquables, ont été apportées à cette interrogation. L’une des plus emblématiques est sans doute celle de Hegel qui juge sévèrement la pertinence de la démarche mathématique d’autant plus que pour lui « C’EST UNE SCIENCE RATIONNELLE QUI NE PRODUIT QUE DES VÉRITÉS DE FAITS.^[6] » (Philonenko, 2004 : 72). Le principal argument du philosophe concerne la nature extrinsèque de la relation entre l’opération mathématique (démonstration) et l’objet mathématique. La démonstration d’une proposition sur le triangle rectangle est extérieure à l’objet triangle lui-même; ce qui fait dire à Hegel que « le mouvement de la démonstration mathématique n’appartient pas au contenu de l’objet, mais est une opération extérieure^[7] à la chose (raison) » (Hegel, cité par Philonenko, 2004 : 72).

Dans le cadre de la pratique quotidienne des mathématiques, la mobilisation d’un type de logique en adéquation avec un raisonnement mathématique est parfois très difficile pour l’apprenant·e suivant la qualité du discours mathématique tenu par l’enseignant·e. Cette situation survient très souvent quand l’énoncé de l’activité n’est pas clair, rendant ainsi difficile l’accès à la situation-problème; de même que des indications sur les outils nécessaires à mobiliser sont absentes. Dans la perspective de rendre moins complexes les relations entre la logique et le raisonnement mathématique, Durand-Guerrier recommande une approche pragmatique.

L’étude de l’articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique mobilise de façon concomitante les analyses de types syntaxique, sémantique et pragmatique. Plus précisément, nous pensons avoir montré que l’analyse sémantique, qui renvoie à la fonction référentielle du langage, ouvre le champ des interprétations possibles d’un fragment de discours mathématique dans une situation donnée, ce qui nécessite, pour poursuivre l’analyse de revenir à la dimension pragmatique, en particulier en ce qui concerne les conditions d’énonciation et l’état des connaissances des sujets. […] l’importance des considérations de type pragmatique dans le discours des enseignants à l’intention des étudiants, dont par essence le contexte d’utilisation reste mal défini; ceci venant en quelque sorte pallier la quasi-absence de références explicites aux outils logiques susceptibles d’éclairer les pratiques mathématiques. (Durant-Guerrier, 2005 : 147)

Pour cette autrice, en plus des aspects syntaxique et sémantique à retenir dans les discours mathématiques destinés aux étudiant·e·s, il faudrait intégrer l’aspect pragmatique^[8], à l’effet d’offrir à ces candidat·e·s aux pratiques mathématiques, et pourquoi pas à l’expertise mathématique, des indices de repérage d’outils logiques susceptibles de les aider à « démarrer ». Ainsi, l’énoncé de la consigne comportera des expressions telles que « démontrer à l’aide de…, en vous servant de…, en vous appuyant sur… ».

Aussi, l’articulation entre la logique et le raisonnement mathématique occupe une place de choix dans la mise en œuvre des démonstrations de qualité dans cette discipline. Les enseignant·e·s de mathématiques sont confronté·e·s à cette tâche au quotidien avec leurs élèves. En fait, cette tâche sera facilitée si les enseignant·e·s tendent une perche aux apprenant·e·s en leur fournissant une clé sur les deux nécessaires à résoudre le problème : les outils logiques fournis, il leur restera d’établir les liens avec le problème posé grâce au raisonnement déployé. Ce travail n’est ni une activité spontanée ni une découverte au hasard, mais une acquisition progressive. D’ailleurs, tout·e élève, au cours de ses études en mathématiques, est nécessairement appelé·e·à améliorer le niveau de son raisonnement jusqu’au seuil requis pour mieux s’en sortir dans cette discipline.

En plus de toutes les exigences relatives aux règles de raisonnement qui sous-tendent les bons discours mathématiques – clarté, précision, indication sur les outils à utiliser – la recherche fondamentale, comme la recherche appliquée dans cette discipline, offre des réponses utiles pouvant renseigner la jeunesse sur les enjeux et la dynamique des mathématiques.